Límites cuando "x" tiene a infinito

X tiende a infinito

A veces podemos no usar infinito directamente, pero sí podemos usar un límite.
Lo que pasa en ∞ es indefinido... 

                                                                     1/∞

 sabemos que 1/x va hacia 0 cuando x va hacia infinito

Límites al ir a infinito

¿Cuál es el límite de esta función?

y = 2x

Está claro que cuando "x" se hace más grande, le pasa lo mismo a "2x":
xy=2x
1 2
2 4
4 8
10 20
100 200
... ...


Así que cuando "x" va a infinito, "2x" también va a infinito. Lo escribimos así:


Pero no te dejes engañar por el signo "=". No podemos llegar a infinito, pero en el lenguaje de los "límites", el límite es infinito (lo que quiere decir en realidad que la función no tiene límite).

Infinito 

Hemos visto dos ejemplos, uno va a 0, el otro a infinito.y grado

De hecho muchos límites en el infinito son muy fáciles de calcular, si consigues saber "hacia dónde van", así:
Las funciones como 1/x van hacia 0 cuando x va hacia infinito. Esto pasa también con 1/x2 etc.



Una función como 2x va hacia infinito, porque tiene "x" dentro.

Igualmente, funciones como x2 o x3 también van hacia infinito

Pero ten cuidado, una función como "-x" va hacia "-infinito", así que hay que fijarse en los signos.

De hecho, si miramos el grado de la función (el mayor exponente (o potencia) en la función) podemos saber qué va a pasar.

Si el grado es:
mayor que 0, el límite es infinito (o -infinito)
menor que 0, el límite es 0
Pero si el grado es 0 o desconocido entonces tenemos que trabajar más para calcular el límite

Límites indeterminados

Límites Indeterminados

En muchas ocasiones se presenta el cálculo de límites de cocientes, diferencias y productos de funciones en los que al reemplazar la variable por el valor al cual tiende se generan indeterminaciones del tipo. 
El resultado de estos límites no puede anticiparse y el mismo puede ser cero, ¥ , -¥ , un número finito diferente de cero, o bien puede no existir. Para resolverlos, se realizan procedimientos algebraicos adecuados que permitan salvar la indeterminación.

La indeterminación

Para salvar indeterminaciones de este tipo, es posible reducir el cociente planteado a otro cuyo denominador no sea cero factorizando el numerador y/o el denominador, cancelando luego los factores comunes. En otras ocasiones, es posible crear un factor común multiplicando el numerador y el denominador por la expresión conjugada de la que se presenta en uno de ellos.

La indeterminación

Se analizará el límite del cociente de dos funciones polinomiales en el que la variable crece o decrece indefinidamente. Se debe tener en cuenta que el límite de una función polinomial de grado n ³ 1 cuando x tiende a +¥ ó a -¥ es +¥ ó -¥ . Para resolver límites de este tipo, se dividen el numerador y el denominador de la función dada por xⁿ, siendo n el mayor de los grados de las funciones polinomiales. Luego se aplican las propiedades de los límites.

La indeterminación 

Uno de los procedimientos algebraicos para salvar una indeterminación de este tipo, se desarrollará en el siguiente ejemplo:

La indeterminación.

Para salvar una indeterminación de este tipo, se pueden realizar distintos procedimientos algebraicos. Uno de ellos se desarrollará en el siguiente ejemplo.

Límites por evaluacion

Límites por Evaluación

1. Sólo sustituye el valor
Lo primero que hay que intentar es poner el valor donde queremos saber el límite, y ver si funciona (en otras palabras hacer una sustitución).

Ejemplo		Valor al sustituir	¿Funciona?
		(1-1)/(1-1) = 0/0
		10/2 = 5

El primero no funcionó, pero el segundo nos dio una respuesta rápida y fácil.

2. Factores

Podemos probar factorizando.
Ejemplo:

Factorizando (x2-1) en (x-1)(x+1) tenemos:



Ahora sustituimos x=1 para calcular el límite:

3. Conjugar

Si es una fracción, multiplicar arriba y abajo por un conjugado puede ayudar.

El conjugado es cuando cambias el signo entre dos términos, así:


Aquí tienes un ejemplo en el que te ayuda a calcular un límite:
Evaluando en x=4 sale 0/0, ¡no es una respuesta válida!


Así que vamos a manipular un poco:
Multiplica arriba y abajo por el conjugado de lo de arriba:

Simplifica arriba usando :

Simplifica arriba un poco más:

Elimina (4-x) arriba y abajo:


Así que nos queda:

Teoremas

Teorema 

Sean a y L dos números reales y f una función real definida en un intervalo abierto conteniendo a a, salvo posiblemente en a. Tenemos que:

limx→a+f(x)=L  y  limx→a−f(x)=L⇔limx→af(x)=L

Recuerda que tanto en los límites laterales como en los ordinarios no importa que ocurre con el valor de la función en a. Puede estar definida y valer igual a los laterales o ser diferente o sencillamente no existir.

Límites laterales

Límites

Límite de una Función

Para la matemática, un límite es una magnitud fija a la que se aproximan cada vez más los términos de una secuencia infinita de magnitudes.

Función, por otra parte, es un concepto que refiere a diversas cuestiones. En este caso, nos interesa la definición de función matemática (la relación f de los elementos de un conjunto A con los elementos de un conjunto B).

La expresión límite de una función se utiliza en el cálculo diferencial matemático y refiere a la cercanía entre un valor y un punto. Por ejemplo: si una función f tiene un límite X en un punto t, quiere decir que el valor de f puede ser todo lo cercano a X que se desee, con puntos suficientemente cercanos a t, pero distintos.

Dentro de lo que sería el límite de la función, tendríamos que destacar la existencia de una teoría muy importante. Nos estamos refiriendo a la teoría del sándwich, también conocida como teorema del emparedado, que tiene su origen en tiempos del físico griego Arquímedes, que la usó al igual que hiciera el matemático Eudoxo de Cnido, que era discípulo del filósofo Platón.

Ese teorema tenemos que decir que lo que viene a establecer es que si dos funciones se decantan por el mismo límite en lo que se refiere a un punto concreto, cualquier otra función que se establezca entre ambas también compartirá con ellas el mismo límite.

¿Aplicaciones en Cálculo?

El cálculo se puede aplicar en distintas ciencias, como son: la medicina, la economía, la ingeniería, la arquitectura, etc. En Medicina, el cálculo, específicamente el algoritmo, se aplica a la epidemiología y el logaritmo, a la inmunología. En Economía y Administración, el análisis de la economía y la administración trata frecuentemente con cambios, él cálculo es para los directores de empresa y economistas es una herramienta muy valiosa. El análisis marginal es quizá la aplicación más directa del cálculo a la economía y a la administración. Como ya hemos visto, el cálculo diferencial es también el método mediante el cual se obtienen máximos y mínimos de funciones, por consiguiente, utilizando el cálculo se pueden resolver problemas relativos a maximizar ganancias o minimizar costos. En Ingeniería, en particular la ingeniería electrónica, utiliza bastantes ecuaciones diferenciales ya que es una herramienta para el análisis de señales analógicas o digitales, y la electrónica tiene varias materias respecto a señales o tratamiento de señales.

Células cerebrales

En la Arquitectura es fundamental ya que
es unas de las bases para que se desarrolle
de una buena manera