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lunes, 13 de noviembre de 2017
domingo, 12 de noviembre de 2017
Razón de cambio
=RAZÓN DE CAMBIO=
Razón de cambio (de una variable respecto a otra) es la
magnitud del cambio de una variable por unidad de cambio de la otra. (También
se le llama tasa de cambio.) Si las variables no tienen ninguna dependencia la
tasa de cambio es cero.
En general, en una relación funcional y=f(x), la razón de cambio de
la variable dependiente y
respecto a la independiente x
se calcula mediante un proceso de límite:
De la razón [ f
( x
+ t )
− f (
x )
] / t
Denominada cociente diferencial.
La razón de cambio es el límite del cociente diferencial
cuando t
tiende a cero. De esta manera, la razón de cambio es la interpretación
fundamental de la derivada de una función.
La derivada como razón de cambio maneja dos tipos de razón
de cambio, en estas se ven muchos problemas relacionados y con una solución muy
larga:
-
Promedio: Se trata de problemas en los que
estudiamos fenómenos relacionados con la variación de una magnitud que depende
de otra.
-
Instantánea: Se le denomina segunda derivada y
hace referencia a la velocidad con la cual cambia la pendiente de una curva en
un momento determinado.
Máximos y mínimos
Valores máximos y mínimos de una función |
|||||
En dos puntos se presentan tangentes
horizontales; y es justo en aquellos en donde la función cambia de ser
creciente a decreciente o viceversa.
|
|||||
 |
|||||
Un máximo o mínimo absoluto se
refiere al valor mayor o menor que puede tomar una función en TODO su
rango. En el ejemplo que ilustramos, el máximo absoluto es el infinito y
sucede cuando x toma valores infinitos también. El mínimo absoluto está en
menos infinito y ocurre cuando x se acerca a menos infinito también.
|
|||||
Un máximo o mínimo relativo se
refiere al valor mayor o menor que toma una función en un determinado
intervalo. En el ejemplo, la función tiene un valor máximo aparentemente en el punto (-2, 3) y un mínimo aparentemente en (-1, 0).
 |
|||||
2) f(x) = x3 − 3x + 2
|
f'(x) = 3x2 − 3 = 0 x = − 1 x = 1
Candidatos a extremos: − 1 y 1.
f''(x) = 6x
f''(−1) = −6 < 0 Máximo
f''(1) = 6 > 0 Mínimo
f(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 2 = 4
f(1) = (1)3 − 3(1) + 2 = 0
Máximo(−1, 4) Mínimo(1, 0)
2)
Candidatos a extremos: − 1 y 1.
f"( − 1) = 6 > 0 Mínimo
f"(1) = − 6 < 0 Máximo
f(−1) = 3 · (−1) − (−1)³ = − 2
f(1) = 3 · 1 − 1³ = 2
Máximo ( − 1, − 2) Mínimo(1,
2)
Derivadas de orden superior
Derivadas de Orden Superior
La derivada de orden superior se conoce como la segunda, tercera,
etc derivada de la función, es decir, si f(x) es una función y existe su
primera derivada f´(x). A tener en cuenta:
es la derivada de
la función 
es la derivada de
la derivada de la función
Notación de la Derivada de Segundo
Orden
Existen otras formas de expresar la
derivada de segundo orden:
Derivadas de funciones implícitas
Derivadas de funciones implícitas
Funciones implícitas
|
||||||||||
Las funciones pueden clasificarse en
funciones explícitas e implícitas. Una función en la que la variable
dependiente se expresa ÚNICAMENTE en términos de la variable independiente es
una función explícita. La forma de estas funciones es y = f(x), y al
derivarlas, la idea es encontrar y’. Por ejemplo, la función
 es una función explícita. |
||||||||||
En los casos en los que nuestra
variable dependiente no esté expresada sólo en términos de la variable
independiente, se tiene una función implícita. Una expresión equivalente
a
es . Esta expresión no nos presenta a
y en términos de x, por lo que en este caso tenemos a la función definida de
manera implícita. 
Derivación de funciones implícitas
Aplicando las fórmulas de derivación a la
expresión,
 tenemos:
2x+2yy´=0
2yy´=-2x
Y´=-2x/2y
Y´=-x/y
|
||||||||||
. Derivar esta expresión, tal y
como sucedió antes, implica derivar ambas partes de la igualdad. Esto
es
.
o 
Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas
Derivadas de funciones exponenciales y
logarítmicas.
Se aplican los mismos conceptos, pero teniendo como
base a las fórmulas 11 a 14 y 27.
Derivadas de funciones inversas
Derivadas de funciones inversas.
Aplicamos los mismos conceptos anteriores, teniendo
ahora como base las fórmulas 21 a 26.
Por ejemplo:
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